Связь между перпендикуляром, наклонной и её проекцией на плоскость
Наведите камеру, чтобы открыть презентацию
Основные понятия
Перпендикуляр к плоскости — отрезок, перпендикулярный плоскости и соединяющий точку с плоскостью.
Наклонная — отрезок, соединяющий точку вне плоскости с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром.
Проекция наклонной — отрезок, соединяющий основание перпендикуляра с основанием наклонной.
Немного истории
Теорема известна со времён античности, но своё современное название получила в курсе стереометрии XIX века
III век до н.э.
Евклид, «Начала»
В книге XI рассматриваются перпендикуляры к плоскости и их свойства. Прямых формулировок теоремы ещё нет, но идеи уже заложены.
XVIII век
Становление стереометрии
В курсах геометрии начинают выделять «теорему о трёх перпендикулярах» как отдельный инструмент.
XIX век
Школьный курс
Теорема входит в учебники Киселёва и становится классическим приёмом решения задач.
XX–XXI век
Применение в технике
Используется в строительстве, архитектуре, 3D-моделировании и робототехнике — везде, где нужно проверить перпендикулярность в пространстве.
Прямая теорема
Если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной.
где a — прямая в плоскости α, AB — наклонная, HB — её проекция, AH — перпендикуляр к плоскости.
Обратная теорема
Если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и её проекции.
Обе теоремы вместе составляют теорему о трёх перпендикулярах.
Доказательство прямой теоремы
👆 Нажимайте «Следующий шаг», чтобы показать доказательство постепенно
1
Пусть AH ⊥ α, AB — наклонная, HB — проекция. Прямая a ⊂ α и a ⊥ HB.
2
Так как AH ⊥ α, то AH ⊥ a (по определению перпендикуляра к плоскости).
3
Прямая a перпендикулярна двум пересекающимся прямым AH и HB плоскости AHB.
4
Следовательно, a ⊥ (AHB) — перпендикулярна всей плоскости.
5
Значит, a перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в том числе AB. Что и требовалось доказать. ■
Построение чертежа
👆 Нажимайте «Построить», чтобы чертёж рисовался поэтапно — идеально для объяснения
Интерактивный чертёж
👆 Двигайте ползунок — точка B перемещается, проекция и наклонная меняются
B: 450
Проверьте себя 🧠
Счёт: 0 / 3
Вопрос 1
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ диагональ основания AC перпендикулярна диагонали куба BD₁?
Проекция BD₁ на плоскость ABCD — это диагональ BD. Так как AC ⊥ BD (диагонали квадрата), по теореме о трёх перпендикулярах AC ⊥ BD₁. ■
Вопрос 2
Если a ⊥ HB, следует ли из этого, что a ⊥ AB?
Это буквально формулировка прямой теоремы: a ⊥ HB ⟹ a ⊥ AB, при условии что a лежит в плоскости α, а HB — проекция наклонной AB. ■
Вопрос 3
Верно ли обратное: если a ⊥ AB, то a ⊥ HB?
Это обратная теорема о трёх перпендикулярах. Она также верна, поскольку прямая a перпендикулярна плоскости AHB (содержащей и AB, и HB, и AH), а значит — перпендикулярна любой прямой в ней, включая HB. ■
Применение на практике
🏗 Строительство
Проверка вертикальности столба, установка колонн, монтаж каркасов зданий — везде, где нужна перпендикулярность в пространстве.
🧊 Стереометрия
Диагонали куба, высоты пирамид, рёбра призм — классические задачи ЕГЭ решаются в одну строку через эту теорему.
🖥 3D-графика и САПР
В программах вроде AutoCAD, Blender и SolidWorks проверка «перпендикулярности» между объектами основана на той же математике.
Главное запомнить
Проекция ⊥ прямой ⟺ наклонная ⊥ прямой
Теорема связывает три перпендикуляра: к плоскости, наклонную и её проекцию.
Работает «в обе стороны» — прямая и обратная формулировки.
Широко применяется в стереометрии: куб, пирамида, призма.
Упрощает доказательства перпендикулярности в пространстве.
Новотроицкий строительный техникум